方差分析

第一模块：单因素方差分析 (ANOVA)

1. 核心逻辑：为什么要叫“方差”分析？
很多同学一直困惑：“我们要比较的是3组数据的平均值（$\mu_1, \mu_2, \mu_3$）是否相等，为什么要分析‘方差’？”

这里有一个非常经典的**“信号与噪声”**理论：
我们将数据的总波动（SST）拆解为两部分：

组间波动 (SSA)：这是信号。是由不同的“因素”造成的（比如用了三种不同的组装方法，效率自然不同）。这部分波动是我们想看到的。
组内波动 (SSE)：这是噪声。是随机误差（比如同样是用方法A，小张和小李的手速不一样）。这部分波动是我们想消除的。

判决逻辑（F检验）：
$$ F = \frac{\text{组间方差 (信号)}}{\text{组内方差 (噪声)}} = \frac{MSA}{MSE} $$

如果 $F$ 值很大（信号远强于噪声）：说明组和组之间的区别是实打实的，不是运气。$\rightarrow$ 拒绝 $H_0$，认为各组均值显著不同。
如果 $F$ 值接近 1：说明组间区别还没组内瞎波动的区别大。$\rightarrow$ 接受 $H_0$，认为各组没啥区别。

2. 实战解题：ANOVA 表格填空（考试必考）
这就像在玩数独，格子里是有勾稽关系的。一定要背下来这个关系网！

假设我们在做题目：3种组装方法 ($k=3$)，总共调查了 30 名工人 ($n=30$)。

差异源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F 值
组间 (SSA)	填空1	$k-1 = 3-1 = 2$	$MSA = \frac{SSA}{2}$	$F = \frac{MSA}{MSE}$
组内 (SSE)	3836	$n-k = 30-3 = 27$	$MSE = \frac{3836}{27}$
总计 (SST)	填空2	$n-1 = 29$

填空逻辑：
1. 先算均方 (MS)：$MS = SS \div df$。
  - 题目若给了 $MSA=210$，那我们反推 $SSA = 210 \times 2 = 420$。（填空1）
2. 再算加法：$SST = SSA + SSE = 420 + 3836 = 4256$。（填空2）
3. 最后算 F 值：
  - 先算出 $MSE = 3836 \div 27 \approx 142.07$
  - $F = 210 \div 142.07 \approx 1.48$
4. 下结论：
  - 查表 F临界值（假设是 3.35）。
  - 因为 $1.48 < 3.35$，不能拒绝 $H_0$。
  - 人话结论：这三种组装方法效率差不多，没必要折腾换方法。

来个题目练练手吧：

10.4 某企业准备采用3种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法每小时组装的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中的一种方法。通过对每名工人组装的产品数进行方差分析得到下面的结果：

方差分析表

差异源	SS	df	MS	F	P-value	F crit
组间			210		0.245 946	3.354 131
组内	3 836			—	—	—
总计		29	—	—	—	—

（1）完成上面的方差分析表。
（2）若显著性水平 $\alpha=0.05$，检验采用3种方法组装的产品数量之间是否有显著差异。

第一步：梳理已知信息和逻辑关系

从题目文字和表格中，我们提取出以下关键信息：

因素水平数 ($k$)：有 3种方法组装，所以 $k=3$。
总样本量 ($n$)：随机抽取了 30名 工人，所以 $n=30$。
表格已知数据：
- 组间均方 ($MS_A$) = 210
- 组内平方和 ($SSE$) = 3836
- 总自由度 ($df_T$) = 29
- P-value = 0.245946
- F crit (临界值) = 3.354131

核心公式关系（一定要背下来）：

自由度关系：总自由度 = 组间自由度 + 组内自由度
平方和关系：总平方和(SS) = 组间SS + 组内SS
均方(MS)计算：$MS = SS \div df$ （反过来就是 $SS = MS \times df$）
F值计算：$F = 组间MS \div 组内MS$

(1) 完成上面的方差分析表

我们要填补表格中的空缺项。

1. 计算自由度 (df)

组间自由度 ($df_A$)：公式是 $k - 1$。
$$df_A = 3 - 1 = 2$$
组内自由度 ($df_E$)：公式是 $n - k$，或者总自由度 - 组间自由度。
$$df_E = 30 - 3 = 27$$
(验证：$2 + 27 = 29$，与题目给的总计29一致)

2. 计算平方和 (SS)

组间平方和 ($SSA$)：已知 $MS_A$ 和 $df_A$。
$$SSA = MS_A \times df_A = 210 \times 2 = 420$$
总计平方和 ($SST$)：组间SS + 组内SS。
$$SST = 420 + 3836 = 4256$$

3. 计算均方 (MS)

组内均方 ($MSE$)：已知 $SSE$ 和 $df_E$。
$$MSE = SSE \div df_E = 3836 \div 27 \approx 142.074$$ (保留三位小数)

4. 计算 F 值

$$F = MS_A \div MSE = 210 \div 142.074 \approx 1.478$$

填好的完整表格如下：

差异源	SS (平方和)	df (自由度)	MS (均方)	F	P-value	F crit
组间	420	2	210	1.478	0.245946	3.354131
组内	3836	27	142.074	—	—	—
总计	4256	29	—	—	—	—

(2) 检验采用3种方法组装的产品数量之间是否有显著差异

步骤 1：提出假设

零假设 ($H_0$)：$\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ （三种方法的平均组装数量没有显著差异）
备择假设 ($H_1$)：三种方法的平均组装数量不全相等（至少有一种方法与其他不同）

步骤 2：进行判断
这里有两种判断方法，结论是一致的：

方法 A：利用 P-value 判断（最快）
- 题目给出的 $P\text{-value} = 0.245946$
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$
- 因为 $P\text{-value} (0.246) > \alpha (0.05)$，所以不拒绝零假设。
方法 B：利用 F值与临界值判断
- 我们计算出的 $F = 1.478$
- 题目给出的临界值 $F_{\text{crit}} = 3.354131$
- 因为 $F < F_{\text{crit}}$，统计量没有落入拒绝域，所以不拒绝零假设。

步骤 3：得出结论
在 $\alpha=0.05$ 的显著性水平下，我们要接受零假设。
结论：没有证据表明采用3种方法组装的产品数量之间有显著差异（即这三种方法的效率基本是一样的）。

一、题目文字内容

8.2 一家管理咨询公司为不同的客户进行人力资源管理讲座。每次讲座的内容基本上一样，但讲座的听课者有时是高级管理者，有时是中级管理者，有时是初级管理者。该咨询公司认为，不同层次的管理者对讲座的满意度是不同的。对听完讲座后随机抽取的不同层次管理者的满意度评分如下（评分标准是 1~10，10 代表非常满意）：

高级管理者	中级管理者	初级管理者
7	8	5
7	9	6
8	8	5
7	10	7
9	9	4
	10	8
	8

取显著性水平 $\alpha=0.05$，检验管理者的层次不同是否会导致评分的显著差异。

二、解题过程解析

第一步：提出假设

零假设 ($H_0$)：$\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
（即：高级、中级、初级管理者对讲座的平均满意度没有显著差异，或者说完全相同。）
备择假设 ($H_1$)：$\mu_1, \mu_2, \mu_3$ 不全相等
（即：至少有一组管理者的平均满意度与其他组不同。）

第二步：整理数据与计算基本统计量

我们需要计算每一组的样本量 ($n$)、总和 ($T$) 和平均值 ($\bar{x}$)。

高级管理者 (组1):
- 数据: 7, 7, 8, 7, 9
- $n_1 = 5$
- 和 $T_1 = 7+7+8+7+9 = 38$
- 均值 $\bar{x}_1 = 38 / 5 = 7.6$
- 平方和 $\sum X_1^2 = 49+49+64+49+81 = 292$
中级管理者 (组2):
- 数据: 8, 9, 8, 10, 9, 10, 8
- $n_2 = 7$
- 和 $T_2 = 62$
- 均值 $\bar{x}_2 = 62 / 7 \approx 8.86$
- 平方和 $\sum X_2^2 = 64+81+64+100+81+100+64 = 554$
初级管理者 (组3):
- 数据: 5, 6, 5, 7, 4, 8
- $n_3 = 6$
- 和 $T_3 = 35$
- 均值 $\bar{x}_3 = 35 / 6 \approx 5.83$
- 平方和 $\sum X_3^2 = 25+36+25+49+16+64 = 215$

总体数据：

总样本量 $N = 5 + 7 + 6 = 18$
总和 $T = 38 + 62 + 35 = 135$
总均值 $\bar{\bar{x}} = 135 / 18 = 7.5$
原始数据总平方和 $\sum \sum x^2 = 292 + 554 + 215 = 1061$

第三步：计算平方和 (Sum of Squares) 【SSA，SSE公式不用记考试不会考】

我们需要计算三个关键指标：SST（总平方和）、SSA（组间平方和）、SSE（组内平方和/残差平方和）。

为了方便计算，我们要先算一个校正数 (Correction Factor, C)：
$$C = \frac{T^2}{N} = \frac{135^2}{18} = \frac{18225}{18} = 1012.5$$

总平方和 (SST, Total Sum of Squares):
$$SST = \sum \sum x^2 - C$$
$$SST = 1061 - 1012.5 = 48.5$$
组间平方和 (SSA, Sum of Squares Between Groups):
公式：$SSA = \sum (\frac{T_i^2}{n_i}) - C$
$$SSA = (\frac{38^2}{5} + \frac{62^2}{7} + \frac{35^2}{6}) - 1012.5$$
$$SSA = (\frac{1444}{5} + \frac{3844}{7} + \frac{1225}{6}) - 1012.5$$
$$SSA = (288.8 + 549.143 + 204.167) - 1012.5$$
$$SSA = 1042.11 - 1012.5 = 29.61$$
(注：这里保留了两位小数，计算过程可能有微小舍入误差)
组内平方和 (SSE, Sum of Squares Error):
$$SSE = SST - SSA$$
$$SSE = 48.5 - 29.61 = 18.89$$

第四步：计算自由度 (Degrees of Freedom)与均方 (Mean Square)

自由度:
- 组间自由度 ($df_A$) = 组数 $k - 1 = 3 - 1 = 2$
- 组内自由度 ($df_E$) = 总样本 $N - 组数 k = 18 - 3 = 15$
- 总自由度 ($df_T$) = $N - 1 = 17$
均方 (Mean Square):
- 组间均方 ($MSA$) = $SSA / df_A = 29.61 / 2 = 14.805$
- 组内均方 ($MSE$) = $SSE / df_E = 18.89 / 15 \approx 1.259$

第五步：计算检验统计量 F值

$$F = \frac{MSA}{MSE} = \frac{14.805}{1.259} \approx 11.76$$

第六步：查表与决策

临界值: 我们需要查找F分布表。
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$
- 分子自由度 = 2
- 分母自由度 = 15
- 查表得 $F_{0.05}(2, 15) = 3.68$ (大约值，具体看课本附表，通常是3.68)
比较:
$$F_{计算值} (11.76) > F_{临界值} (3.68)$$
结论:
因为计算出的F值落在拒绝域内（远大于临界值），所以我们拒绝零假设 ($H_0$)。

最终结论

在 $\alpha=0.05$ 的显著性水平下，管理者的层次不同会导致评分有显著差异。
(从数据也能直观看出：中级管理者评分很高[均值~8.9]，而初级管理者评分较低[均值~5.8]，差异很明显)。

双因素方差分析（Two-Way ANOVA）比单因素稍微复杂一点，因为它不仅要看两个因素各自的影响（主效应），还要看它们凑在一起会不会产生化学反应（交互效应）。

考试重点：通常绝不会让你手算双因素的 SSA、SSB、SSAB 等繁琐数据（计算量太大），而是像 10.4 那样，给你一个半成品的表格，让你填空并做决策。

我们把 10.4 改造一下，这就成了一个标准的双因素方差分析考题：

【模拟考题】10.4 改编版（双因素方差分析）

场景描述：
某企业为了提高生产效率，想研究两个因素对“每小时组装产品数量”的影响：

因素 A（组装方法）：有 3 种方法（A1, A2, A3）。
因素 B（工龄长短）：有 2 个水平（熟练工、新员工）。

企业随机抽取了 30 名工人进行试验（每个“方法+工龄”的组合里分配了 5 人，即 $3 \times 2 \times 5 = 30$ 人），得到如下部分方差分析表。

已知信息：

总样本量 $n = 30$。
误差（组内）均方 $MSE = 10$。
显著性水平 $\alpha = 0.05$。

方差分析表（请填空）：

差异源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F 值	F 临界值 ($F_{crit}$)
因素 A (方法)	100	(1) __	50	(4) __	3.40
因素 B (工龄)	80	(2) __	80	(5) __	4.26
交互作用 (A $\times$ B)	300	(3) __	150	(6) __	3.40
误差 (组内)	240	24	10	—	—
总计	720	29	—	—	—

问题：

计算表格中 (1) ~ (6) 处的数值。
检验 交互作用 是否显著？这意味着什么？
检验 因素 A（组装方法） 和 因素 B（工龄） 是否对产量有显著影响？

【解题与解析】

这种题目的解题逻辑是“拼图”。

1. 填补表格 (1) ~ (6)

第一步：搞定自由度 (df)
这是最简单的部分，背公式即可：

因素 A 的自由度 ($df_A$) = 水平数 - 1 = $3 - 1 = 2$。 -> (1) 填 2
因素 B 的自由度 ($df_B$) = 水平数 - 1 = $2 - 1 = 1$。 -> (2) 填 1
交互作用的自由度 ($df_{AB}$) = $df_A \times df_B = 2 \times 1 = 2$。 -> (3) 填 2
(检查：$2 + 1 + 2 + 24 = 29$，总自由度吻合)

第二步：计算 F 值
公式永远是：$F = \frac{\text{某因素的MS}}{\text{误差的MSE}}$
题目已知误差 $MSE = 10$。

因素 A 的 F 值:
$$F_A = \frac{MS_A}{MSE} = \frac{50}{10} = 5$$ -> (4) 填 5
因素 B 的 F 值:
$$F_B = \frac{MS_B}{MSE} = \frac{80}{10} = 8$$ -> (5) 填 8
交互作用的 F 值:
$$F_{AB} = \frac{MS_{AB}}{MSE} = \frac{150}{10} = 15$$ -> (6) 填 15

2. 检验交互作用 (Interaction Effect)

这是双因素分析中最关键的一步。我们先看交互作用。

假设：$H_0$: 不存在交互作用（方法和工龄互不影响）。
判断：
- 计算出的 $F_{AB} = 15$
- 临界值 $F_{crit} = 3.40$
- $15 > 3.40$，落入拒绝域。
结论：拒绝零假设，交互作用非常显著。

这“意味着什么”？（考试常考的简答）
这意味着**“工龄”对产量的影响，依赖于使用的是哪种“方法”**（或者反过来说）。
举例解释：可能对于“熟练工”来说，方法 A 最快；但对于“新员工”来说，方法 A 太难了反而最慢，方法 C 最快。单纯说“方法A好”或者“熟练工快”是不准确的，必须结合起来看。

3. 检验主效应 (Main Effects)

虽然交互作用显著时，单独讨论主效应有时会失真，但考试通常还是会让你判断一下。

因素 A (组装方法)：
- $F_A = 5 > F_{crit} = 3.40$
- 结论：显著。不同的组装方法对产量有差异。
因素 B (工龄)：
- $F_B = 8 > F_{crit} = 4.26$
- 结论：显著。不同的工龄对产量有差异。

总结：双因素方差分析怎么考？

填表题：利用 $df$ 的加减关系，以及 $F = MS/MSE$ 的关系填空。
概念题：自由度怎么算？
- $A$ 的自由度 = $a-1$
- $B$ 的自由度 = $b-1$
- 交互自由度 = $(a-1)(b-1)$
- 误差自由度 = $ab(r-1)$ (其中r是每组样本数)
决策题：先看交互作用。如果交互作用显著，说明两个因素搅在一起了，不能简单地只看单因素。

练习一下：

明白，这种题型在考试中非常常见：考逻辑关系而不是考计算器手速。

这就为你出一个单因素方差分析的“填空题”，完全模仿 10.4 的风格。

【模拟考题】单因素方差分析（填表练习）

场景描述：
某销售公司为了提升业绩，试图比较 3 种不同的销售话术（A、B、C） 的效果。公司随机挑选了 18 名 销售人员，平均分成 3 组，每组使用一种话术。一个月后，记录他们的销售额（单位：万元）。

对数据进行方差分析后，得到如下残缺的表格。请利用已知信息补全表格，并进行检验。

已知信息：

总平方和 ($SST$) = 600
组内平方和 ($SSE$) = 150
显著性水平 $\alpha = 0.05$

方差分析表：

差异源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F	P-value	F crit
组间 (话术)	(1) _____	(2) _____	(4) _____	(6) _____	0.00012	3.68
组内 (误差)	150	(3) _____	(5) _____	—	—	—
总计	600	17	—	—	—	—

问题：

计算表格中 (1) ~ (6) 处的数值。
根据计算结果，检验 3 种销售话术的效果是否有显著差异？（写出判断依据）

🛑 先自己拿笔算一下，再看下面的解析

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【答案解析】

1. 填补表格数值

这是一道典型的“倒推/顺推”题。

第 (1) 空：组间平方和 ($SSA$)
- 公式：$SST = SSA + SSE$
- 计算：$SSA = SST - SSE = 600 - 150 = \mathbf{450}$
第 (2) 空：组间自由度 ($df_A$)
- 公式：$k - 1$ （$k$是组数，题目说了是 3 种话术）
- 计算：$3 - 1 = \mathbf{2}$
第 (3) 空：组内自由度 ($df_E$)
- 公式：总自由度 - 组间自由度（或者 $N-k$）
- 计算：$17 - 2 = \mathbf{15}$
- (验证：$N=18, k=3 \rightarrow 18-3=15$，正确)
第 (4) 空：组间均方 ($MSA$)
- 公式：$SSA / df_A$
- 计算：$450 / 2 = \mathbf{225}$
第 (5) 空：组内均方 ($MSE$)
- 公式：$SSE / df_E$
- 计算：$150 / 15 = \mathbf{10}$
第 (6) 空：F 值
- 公式：$MSA / MSE$
- 计算：$225 / 10 = \mathbf{22.5}$

填好的完整表格：

差异源	SS	df	MS	F
组间	450	2	225	22.5
组内	150	15	10
总计	600	17

2. 检验结论

步骤 A：提出假设

$H_0$: $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ （三种话术效果一样）
$H_1$: 三种话术效果不全相等

步骤 B：判断
这里可以用两种方法判断（考试时任选一种即可）：

方法 1：看 F 值
- 计算得到的 $F = 22.5$
- 表格给出的临界值 $F_{crit} = 3.68$
- 因为 $22.5 > 3.68$，F值落入拒绝域。
方法 2：看 P-value
- 表格给出的 $P\text{-value} = 0.00012$
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$
- 因为 $0.00012 < 0.05$，拒绝零假设。

结论：
拒绝零假设。有充分证据表明，3 种销售话术的销售业绩存在显著差异。

如果你能做对上一题，说明你对自由度（df）的加减关系以及 F=MS/MSE 的核心逻辑已经完全掌握了。

双因素方差分析的填表题，难点主要在于自由度（df）的分配。只要这一步搞定，后面全是简单的除法。

准备好了吗？来挑战这道双因素的“终极填空题”。

【模拟考题】双因素方差分析（填表进阶）

场景描述：
某农业研究所想研究 “肥料种类” 和 “种植密度” 对小麦产量的影响。

因素 A（肥料）：选用了 3 种 肥料。
因素 B（密度）：选用了 2 种 密度。
试验共使用了 24 块 试验田（即总样本量 $N=24$），所有条件下的重复次数相同。

数据处理后得到如下方差分析表（部分数据缺失）。

已知信息：

总平方和 ($SST$) = 250
显著性水平 $\alpha = 0.05$
部分临界值：$F_{crit}(1, 18) = 4.41$, $F_{crit}(2, 18) = 3.55$

方差分析表：

差异源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F
因素 A (肥料)	100	(1) _____	(4) _____	(7) _____
因素 B (密度)	20	(2) _____	20	(8) _____
交互作用 (A $\times$ B)	40	(3) _____	20	(9) _____
误差 (组内)	(10) _____	18	(5) _____	—
总计	250	(6) _____	—	—

问题：

填空：计算表格中 (1) ~ (10) 处的数值。（这是最关键的一步！）
决策：
- 交互作用是否显著？
- **因素 A（肥料）**对产量是否有显著影响？
- **因素 B（密度）**对产量是否有显著影响？

💡 小提示（解题锦囊）

自由度：记得 $A$ 是 3 水平，$B$ 是 2 水平，总数是 24。
SS关系：总SS = A + B + AB + 误差。
核心分母：算 F 值的时候，分母永远是 误差的 MS。

请动手算一下，然后往下看答案！

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【答案解析】

第一步：填补自由度 (df) —— 也就是 (1), (2), (3), (6)

这是解题的突破口。

因素 A ($df_A$): 水平数 - 1 = $3 - 1$ = 2 $\rightarrow$ (1)
因素 B ($df_B$): 水平数 - 1 = $2 - 1$ = 1 $\rightarrow$ (2)
交互作用 ($df_{AB}$): $df_A \times df_B = 2 \times 1$ = 2 $\rightarrow$ (3)
总自由度 ($df_T$): 总样本量 - 1 = $24 - 1$ = 23 $\rightarrow$ (6)
- 检查验证：$df_A + df_B + df_{AB} + df_{Error} = 2 + 1 + 2 + 18 = 23$。完美吻合！

第二步：填补平方和 (SS) —— 也就是 (10)

利用加减法关系。

误差平方和 ($SSE$):
$SSE = SST - (SS_A + SS_B + SS_{AB})$
$SSE = 250 - (100 + 20 + 40) = 250 - 160$ = 90 $\rightarrow$ (10)

第三步：计算均方 (MS) —— 也就是 (4), (5)

利用公式 $MS = SS / df$。

误差均方 ($MSE$): (最重要的一个数，因为它是F值的分母！)
$MSE = SSE / df_E = 90 / 18$ = 5 $\rightarrow$ (5)
因素 A 均方 ($MS_A$):
$MS_A = 100 / 2$ = 50 $\rightarrow$ (4)

第四步：计算 F 值 —— 也就是 (7), (8), (9)

利用公式 $F = MS_{某因素} / MSE$。

因素 A 的 F: $50 / 5$ = 10 $\rightarrow$ (7)
因素 B 的 F: (注意表里给了 $MS_B=20$)
$20 / 5$ = 4 $\rightarrow$ (8)
交互作用的 F: (表里给了 $MS_{AB}=20$)
$20 / 5$ = 4 $\rightarrow$ (9)

最终完整表格

差异源	SS	df	MS	F
A (肥料)	100	2	50	10
B (密度)	20	1	20	4
A $\times$ B	40	2	20	4
误差	90	18	5	—
总计	250	23	—	—

第二部分：决策与结论

1. 交互作用显著吗？

$F_{AB} = 4$
查临界值：交互作用的自由度是 (2, 18)，对应的临界值是 3.55。
比较：$4 > 3.55$
结论：显著！ (意味着肥料的效果受种植密度影响，反之亦然)。

2. 因素 A (肥料) 显著吗？

$F_A = 10$
查临界值：自由度 (2, 18)，临界值 3.55。
比较：$10 > 3.55$
结论：显著！ (不同肥料确实导致产量不同)。

3. 因素 B (密度) 显著吗？

$F_B = 4$
查临界值：自由度 (1, 18)，对应的临界值是 4.41。
比较：$4 < 4.41$ (注意这里！)
结论：不显著。 (单纯看密度这一项，差异没那么大，或者被误差掩盖了)。

做题总结

如果这道题你也能做对，尤其是算出了 MSE = 5 并且正确判断了 密度是不显著的，那你的方差分析这块内容（ANOVA）已经可以去考试了！满分预定！🎉

方差分析

第一模块：单因素方差分析 (ANOVA)

第一步：梳理已知信息和逻辑关系

(1) 完成上面的方差分析表

(2) 检验采用3种方法组装的产品数量之间是否有显著差异

一、 题目文字内容

二、 解题过程解析

第一步：提出假设

第二步：整理数据与计算基本统计量

第三步：计算平方和 (Sum of Squares) 【SSA，SSE公式不用记考试不会考】

第四步：计算自由度 (Degrees of Freedom)与均方 (Mean Square)

第五步：计算检验统计量 F值

第六步：查表与决策

最终结论

【模拟考题】10.4 改编版（双因素方差分析）

【解题与解析】

1. 填补表格 (1) ~ (6)

2. 检验交互作用 (Interaction Effect)

3. 检验主效应 (Main Effects)

总结：双因素方差分析怎么考？

【模拟考题】单因素方差分析（填表练习）

🛑 先自己拿笔算一下，再看下面的解析

【答案解析】

1. 填补表格数值

2. 检验结论

【模拟考题】双因素方差分析（填表进阶）

💡 小提示（解题锦囊）

【答案解析】

第一步：填补自由度 (df) —— 也就是 (1), (2), (3), (6)

第二步：填补平方和 (SS) —— 也就是 (10)

第三步：计算均方 (MS) —— 也就是 (4), (5)

第四步：计算 F 值 —— 也就是 (7), (8), (9)

最终完整表格

第二部分：决策与结论

做题总结

一、题目文字内容

二、解题过程解析